最近，我在给自己做一个高中数学备课工作台，叫 Shiori，这个项目里相当大的一部分时间，都花在了一个看起来有些奇怪的任务上：让 AI 认识我正在教的高中数学。
我把教材、教师用书、练习册、答案册、真题汇编和各种方法书撕开，扫描程电子版，接进工作台，让 AI 去读，再和我讨论。光教辅目录就有 51 本，包含正文、答案和配套小册，合计一万多个识别页，另外还有七册人教 B 版教材及其教师用书。
这件事让我反复想一个问题：一个可以和我讨论高阶数学、参与复杂推演的 AI，为什么还不能直接备出一节适合我学生的高中数学课？
把教材里的数学题做出来，通常不至于构成多大的障碍。让它解释一个定义、证明一个结论、列出几种解法，也有很多时候能完成得相当好。但把这些东西变成我的课程，它就开始暴露出另一类问题。它会把简单题想复杂，会把研究背景提前塞进新授课，会用看起来完整的栏目掩盖真正缺失的判断。它还可能非常熟练地使用“核心素养”“认知支架”“迁移能力”这些词，却没有回答最具体的问题：这个学生为什么会在这里停住？
我依然准备让 AI 深度参与备课。而正因为真的准备使用，我才更需要弄清楚，它到底差在哪里。
一份像教案的文本距离一节课还很远
让 AI 写一份教案，形式上的完成并不难。教学目标、重难点、情境导入、例题讲解、课堂练习、总结反思，一样不少。语言通顺，层次清楚，甚至比很多人仓促写出来的教案更像教案。问题是，我上课需要做出的那些判断，不会因为这些标题全部出现，就自动得到解决。
比如，第一道例题应该让学生只完成一个动作，还是允许它同时调用两个方法？一个结论需要现场推出来，还是可以作为已有工具直接使用？学生第一次接触一个概念时，应该看见完整的数学背景，还是先把当前这一层关系理解清楚？一道题放在这里，是帮助学生理解本节，还是偷偷把下一节的困难提前搬了进来？
这些问题没有统一的排版答案。同一个知识点，面对不同学生、不同阶段，可以有不同的教学处理。一个正确解法，只回答了其中很小的一部分。
我这些年的备课，很多时候就是在教材、几本练习册、真题和学生的实际反馈之间来回调整。有些方法第一次讲出来时，我以为已经足够清楚，学生做题以后才发现，真正缺失的恰好是我没有意识到需要解释的那一步。再改，再讲，再看他们能不能独立完成。因此，我对 AI 的要求从一开始就超过了“帮我把内容写出来”。我希望它能参与这种判断，理解我为什么这样组织一节课，为什么这个模块只解决这一件事，为什么某条更漂亮的解法在此时未必合适。
“你是一位有二十年教学经验的高中数学教师”，这句话当然可以写进提示词。可它没有把任何一个学生的作答、任何一次失败的讲解、任何一个经过反复调整的方法模型，真的交给 AI。角色描述提供了一种说话姿态。教学判断需要材料，需要情境，也需要经过讨论的取舍。
一个模型越擅长生成完整文本，我越需要检查：它究竟完成了教学设计，还是只完成了教学设计的外观。
一道集合题把问题暴露得很清楚
在这次对读中，有两道集合题让我觉得很有代表性。
《一遍过》里有一道题，给出
题目里有参数，有二次式，也有不等号。看到这些东西，很容易把它归进“含参二次不等式”，然后开始考虑判别式、开口方向、根的位置和分类讨论，但这道题根本不需要先求出整个集合。因为，所以不满足定义集合的那个条件。把代进去就得到，于是。这道题真正要求学生完成的，是把“不属于集合”翻译成“不满足定义条件”。前面的讨论恰好在这里出现过偏差：AI 被题目的外形带走了，给它安上了远多于实际需要的知识负担。
另一道题来自《必刷题》：
题目要求集合至少有一个元素。这次就确实要讨论和，前者是一次方程，后者才可以使用一元二次方程的判别式。答案册还专门提醒，不要漏掉。两道题的表面成分相当接近，实际任务却很不一样。一道是检验指定对象是否满足条件，另一道要判断满足条件的对象是否存在。
这对备课意味着什么？
如果只凭关键词分类，AI 会把它们放进同一个抽屉；如果只凭式子复杂程度判断难度，AI 会高估前一道题；如果把自己能够调用的数学工具全部打开，它甚至可以把第一道题讲成学生暂时听不懂的样子。然后，一道本来适合训练集合语言的题，就可能被用来证明“教材和练习册之间存在巨大断层”。所以，连“这道题究竟难在哪里”都不能靠外表判断。必须读题，实际做题，比较不同路径，确定哪些动作是必须完成的，哪些负担是解题者自己加上去的。
数学能力强有助于分析这些问题，可是能力强不保证它自动选择最适合当前任务的分析尺度。
备课里的克制，需要建立在真正理解题目的基础上。
重读教材也要允许 AI 推翻判断
这次阅读的价值，还有一部分来自纠错。
在前面的讨论里，AI 曾经把教材概括成“给知识和步骤，却不太讲什么时候想到方法”。这种说法听起来很容易获得认同，尤其当一个老师长期在替学生补这些连接时。但回到具体页面，就能发现它说得过头了。
人教 B 版必修一有关集合表示方法的提示，已经要求学生先判断集合是有限集还是无限集，再思考选用什么表示方法。教师用书进一步解释不同表示方式的便利与局限。这已经在连接对象特征和方法选择。必修三的三角函数部分更明显。教材通过特例、辨析和推导，讨论如何把改写成一个正弦函数，从而研究周期、最值等性质。为什么直接把正弦、余弦各自的最小值相加会失败，为什么要做这种转化，参数如何确定，都能在这段推进中找到。只因为它没有始终顶着一个醒目的“辅助角公式”标题，就判断教材没有讲方法动机，这样读书会漏掉真正的内容。
教师用书还提供另一种很重要的信息：此时讲到哪里就够了。对于集合，我们可以继续讨论更抽象的数学性质，但教参会提醒某些讨论应该淡化，某些概念不必面向所有学生引入。这些话没有增加一条更厉害的定理，却直接影响一节课应该怎样教。一个能够不断向下解释数学本质的 AI，也需要理解停下来的理由。继续深入，是一种能力；知道当前学生此时需要哪一层，也是能力。
我觉得这件事值得对自己和 AI 提出同一个要求：批评材料之前，先把材料读清楚。
我不需要一个擅长附和我的模型。我说教材不好用，它就总结十条不好用的原因；我说某本方法书成体系，它就替我宣布这是唯一成体系的书。这样的讨论很顺畅，但教研价值有限。
原文能够纠正 AI，也应该能够纠正我。否则资料库最后只会成为一套给已有观点配例子的工具。
我仍然在意教材的“防自学”
纠正了对教材的低估，也没有消除我对自学问题的担忧。
我以前用过“防自学”这个词。这个表达比较锋利，但我关注的是学生实际面对的阅读障碍：他只拿到教材，能不能知道这部分在解决什么问题，为什么这样推进，哪些结论需要自己归纳，什么时候可以调用前面学过的方法？编者有没有阻止自学的主观意图，我没有依据判断。可学生能不能独立走完这一段学习路径，是可以具体检查的。
某个信息写在教材里，并不代表它已经以学生能使用的方式交付给学生。它可能藏在一句提问里，散落在几个例题之间，或者需要教师读完教参以后，在课堂上补出最后的归纳。这种编排在教师能够提供支持的课堂里，可以形成有效的探究。到了没有相应支持的情境，留下来的空白就会产生另一种作用。学生不知道自己该发现什么，也不知道发现到什么程度算完成。他甚至可能看懂了每一句话，却仍然不知道这一节学完以后应该会做什么。
我不赞成把所有这样的空白都称为“启发”。启发需要让学生有能力参与，需要让他知道自己正在处理的问题。只留下一个问号，然后期待理解自行发生，这对教材和教师都太省事了。同样，我也不想把讲义做成把每一步答案提前写好的说明书。该让学生思考的地方可以保留，但思考应该有明确对象，知识应该有可以回看的解释，关键连接应该有机会被学生独立重建。我最在意的一点是：阅读材料的困难，要尽可能来自数学本身值得思考的地方，少一点来自信息藏在哪里、老师有没有顺手讲到。
当一个学生把我的讲义带回家，他应该能够重新理解这节课。即使有些部分仍然需要问我，也应该清楚自己具体卡在哪里。我没有必要通过保留关键缺口，来证明老师不可缺少。
学习与备考之间缺少的内容
这次对读的《蓝皮书·高考试题分析（2025）》有一句话，很贴近我长期在做的事情：
数学方法的考查重在方法运用的时机与动机，强调方法的普适性。
这句话让我更加确定，方法教学需要覆盖“第一步从哪里来”。解析里写“设切点为某点”，学生可以接受；老师沿着这个设元过程讲下去，他也可能听懂。但是换一道题，没有人先替他写出这句话，他能不能自己想到要设切点？《最后十课》的一道公切线例题，就在计算前先解释了这一点：已知同一条直线与两条曲线相切，但不知道切点，于是考虑设切点，写出两条切线方程，再比较系数。未知的信息与所选方法之间，有了一段明确的连接。这段话对熟练的人来说可能很短，对学生来说却可能决定整道题有没有入口。
因此，我不满足于“公式讲过了”“例题演示过了”“同类题练过了”。我还要看学生能不能在没有标题提示的情况下，认出当前条件和已有方法之间的关系。一本方法书把题放在“换元法”下面，学生开始做题之前，已经获得了一条很重要的信息：这道题值得考虑换元。到了混合练习或考试里，这个标题会消失。这不是一个无关紧要的排版变化。学生需要独立承担原来由编者代替他完成的判断。
《数学有方法》的使用说明就明确表示，典例经过选择，贴合所讲的大招。这种选题方式适合展示方法，但展示成功和独立选择方法，仍然是两件需要分别检验的事。我对“大招”的保留意见，也主要在这里。一个名字可以帮助记忆，却无法替代适用前提。一个关键词可以成为线索，却不能保证当前方法一定合适。一套例题可以把某种方法展示得很漂亮，也可能始终没有让学生承担真正的路径选择。把知识重新命名、压缩、包装，并不自动提高教学质量。省掉的那一段，有时候恰好就是学生需要学习的那一段。
但我也不会因此否定所有方法书。读进去以后，有些书确实在认真解释方法的来源、关联和边界。简单地把它们全部归成“套路”，同样会丢掉值得研究的内容。真正需要检查的是：学生学到的，到底是一段有条件、有理由的操作，还是一种看到相似外形就启动的反应。
我的教学体系分别要解决什么
我自己的讲义一直在做模块化。现在的讨论，又逐渐延伸到结构与决策。我并不想因为读了几本新书，就把现有体系推倒重来。资料的作用是帮助我检验它，补上缺口，也识别哪些问题暂时不适合放进现有模型。
模块首先要解决一个局部问题。学生应该明白，什么时候需要这个模块，按照其中的方法会把问题推进到哪里。一个模块的存在价值，不取决于它里面塞了多少题，也不取决于能不能给它起一个听起来有力量的名字。但综合题不会总是只需要一个局部动作，前一步的结果可能成为后一步的条件。集合语言需要转成函数条件，函数条件又需要转成不等式；一个几何关系经过转化以后，可能才进入熟悉的代数处理。这些依赖和衔接，才是我想进一步研究的结构。仅仅发现两个模块在很多题里同时出现，还不够。我要知道它们为什么会连在一起，连接点在哪里，换一道题以后这种关系是否依然存在，同一道题是否有另一条合理路线。
《金考卷·十年真题》收录的一道题，定义了这样一族集合：
后面的任务要在函数性质和集合关系之间转换。这里集合里的元素是，决定当前讨论的是哪一个集合，成员资格由一个函数不等式规定。集合语言在这道题里承担了组织综合问题的作用。一个学生最初学集合时，当然不需要立即完成这样的综合题。但到了后面的学习阶段，他应该有机会认出：这些符号和关系里，有一部分其实早就见过。章节结束以后，知识不能跟着封存。前面教清楚局部操作，后面把它重新接回更复杂的任务，这也是课程需要完成的工作。
而当一个问题有多条路线，决策就出现了。《蓝皮书·关键能力培养与应用》专门讨论运算路径选择，用同一道解三角形问题比较多种解法。读这些内容，对教师的价值在于理解不同路径的成本和适用条件，未必需要把所有路线都变成学生必须背下来的清单。我希望学生最终得到的，是选择依据。为什么这次先考虑这一条路，什么条件使另一条路更麻烦，走到哪一步发现不合适，可以调整什么。
模块使局部问题有办法处理，结构使局部能力能够连接，决策使学生能够在当前条件下作出有理由的选择。
这也是我希望 AI 真正参与的地方。它需要读懂我的方法模型，实际用它处理题目，然后告诉我哪里适配、哪里不适配，为什么。只在讲义末尾加上“触发条件”“方法迁移”几个标题，还远远不够。
高阶数学知识是一把双刃剑
我收集的资料里，有一部分明显超出普通新授课的层次。MST 的端点、隐点分析，曹老师系列里的极点极线研究，铭师道对方法来源与延拓的组织，都有值得教师继续拆解的内容。在这轮已经读到的样本里，确实能够看到方法之间的联系，以及从一个想法走向完整论证的过程。所以，我不愿意只凭“超纲”两个字决定一本书有没有价值。教师可以知道更多，可以用更高的视角理解一个现象，也可以先用研究性工具寻找结果。问题在于，这些理解最后怎样进入学生的课程。
比如某种特殊点分析能够帮助寻找参数范围。教师和 AI 都要继续追问：它给出的是必要条件，还是已经足够？候选答案从哪里来，剩下的证明缺什么？条件一变，这个探路方式会不会失效？如果一整段分析最后又被压成“看到恒成立，就用端点效应”，那么研究资料里最有价值的东西反而被丢掉了。另一个方向也同样危险。AI 找到一个更抽象、更统一的解释，就急着把整个理论背景放进学生讲义。它可能确实看得更远，却让眼前这一步更难走。
教师研究的广度，和学生此刻需要承担的内容量，应该分别决定。一本书面对熟练读者写下“显然”“可设”“从而”，是它的表达选择。我的学生恰好可能不理解那个“显然”，那么备课就应该把被压缩的判断重新展开，而不是照抄之后期待学生自己补齐。我也允许探路和正式书写采用不同的组织方式。先知道结果，有时有助于找到证明。但猜测毕竟没有完成论证。最终给学生的过程，需要能够说明每一步为什么成立。
更高阶的知识如果能让教师看见更多条件、更多关系和更多误用风险，就很有价值。如果只是让讲义里多出几个学生暂时不理解的术语，它可能只增加了负担。
教育资源的差距体现在这些连接里
读完这一轮材料，我很难再简单地说，高中数学缺少好内容。教材里有方法动机，教参里有处理建议，答案册里有细节提醒，方法书里有理论链，能力分析里有路径选择。它们都存在。问题是，它们分散在不同位置，面对不同读者，采用不同语言。
同一个教学问题，可能要从教材的提问读到教参的说明，再从一道练习的错误风险读到方法书的背景分析，最后到真题里看它被怎样调用。即使把这些材料全部买齐，也不会自然长出一门课。中间还需要有人判断哪些说法其实在讲同一件事，哪些看起来相似的方法有不同前提，哪些联系需要现在建立，哪些可以留到后面。这些年，我相当多的工作都发生在这里。
所以，当我谈教育资源差距时，我关心的也包括一种不太显眼的差距：有些学生能获得这些连接的解释，有些学生只拿到了定义、例题和最后的演算。同一道题，一个学生有人告诉他“为什么这里想到设切点”，另一个学生只看到“设切点”。前者学到了一部分选择依据，后者可能只能记住这道题的开头。两个人接触的知识名称一样，拿到的学习支持却不一样。如果只要教材上出现过，教学就算完成；只要例题演示过，学生就应该能够迁移，那么几乎所有后续困难都可以被归结为学生基础差、题做少、理解能力不够。这个解释太方便了。我不愿意这样处理自己的课。基础有差距，练习也确实重要。但在给学生下结论之前，我至少应该检查：他缺的那一段，我有没有真正教过？他需要承担的判断，是否一直由题型标题、例题顺序和老师的提示替他完成？方法识别出了问题，就要检查方法识别；条件翻译出了问题，就要检查条件翻译。不能所有问题最后都收到同一个答案：“再多做一点。”
这也使我对教师价值有一个更直接的理解。材料越来越容易获得时，我没有必要把自己摆成答案的保管者。我需要把学生尚未建立的联系讲清楚，再用他的作答检查这些联系是不是真的建立了。一份能够独立阅读的讲义，并不会消除课堂里的追问、纠错、替代解释和迁移训练。相反，它能让课堂少花一点时间重复找回那些本来应该交付清楚的信息。
我希望学生逐渐减少对提示的依赖。讲义写得清楚，是这件事的一部分。
也要防止 AI 假装已经读懂
这次接入资料以后，我对 AI 提出的要求也变了。以前，问题很容易被理解为资料不够。于是继续上传，继续建立索引，继续增加笔记。现在我更清楚：资料越多，越需要区分每一段内容到底属于什么。教材写了什么，和 AI 怎样解释教材，是两个层次。教师用书提出什么建议，和这条建议是否适合我的某个学生，也要分别判断。出版社预测未来会怎样考，不能与某一年试卷实际出了什么混在一起。我的个人看法，只有经过我确认，才能作为我的观点使用。读后笔记尤其需要小心。一份笔记整理得很完整，另一份分析又引用了它，看起来像形成了互相印证。但回到来源，它们可能只是在重复同一个未经核实的判断。同一个页面的两份识别结果，也不会因此变成两份独立证据。目录里能定位到一本书，不代表已经读过正文；搜索没有命中一个术语，也不能证明书里没有对应内容。
这次对教材的纠偏就很典型。只有回到真正的段落，才能发现前面的概括忽略了什么。新报告本身再有价值，也应该保留继续被原文和课堂修正的可能。我希望 AI 在讨论时能清楚说明：这句话是材料里写的，这一部分是它的分析，这个结论只在已读样本里成立，剩下哪些还没有核过。我不要求它处处退缩。我要求它把判断建立在真正读到的东西上。对我来说，AI 有一种相当实用的价值：把分散材料找出来，比较不同解释，展开被省略的论证，实际验证方法，再回到当前模块提出具体建议。这些工作值得交给它认真做。只把它当成排版器，会浪费很多可能；看见它能写一篇有气势的分析，就把教学判断全部让出去，也同样轻率。更重要的是，资料完备始终不等于学生信息完备。
我可以给 AI 接入很多书，但某个学生究竟在哪一步犹豫，哪个词一直理解错，刚才的正确答案有没有依赖提示，这些仍然需要从真实作答和课堂讨论中获得。Shiori 要做的，就是让这些材料、已有的方法体系和当下的教学问题有机会被放在一起讨论。至于某一次建议是否真的合适，还要继续检验。我也没有准备因为软件快做完了，就宣布“AI 备课问题已经解决”。目前完成的是让它有条件进入这项工作。接下来一节一节备课、一道一道分析题目，才会真正知道它参与得怎么样。
回到开头那个问题：会做数学的 AI，为什么还备不好一节课？
因为从一个问题到一个正确答案，和从一个学生当前的理解走到他能够独立解决问题，面对的是两项不同的任务。数学能力可以支撑后一项任务，却不会自动把其中的教学判断全部完成。我做这个工作台，也是想认真处理这段距离。
我希望 AI 帮我看清楚数学，再和我一起，把学生还没有走通的那段路讲清楚。